验证报告
摘要
- 解析解金标准：50 项核对，通过 50 项（期望值由独立公式算出，不调用 LensBench）
- 与独立实现逐光线对账（2026-10-17）：29 个开源样例设计经「读入 → .lens 文本 → LensBench 重建」往返，27 个近轴量与逐光线落点一致（容差 1e-9），其余：约定差异 2
- 分析逐项比较：37 个设计上，LensBench 自算的分析与独立实现的内置分析逐项比较：一致 261、约定差异 44、待商业软件裁决 30、独立实现的已知问题 81、不适用 7
- 商业软件对照：3 个案例 33 项核对，通过 33 项（期望值由商业光学设计软件直接算出，不调用 LensBench）
边界：以上说明 LensBench 的光学计算与解析解、与一个独立实现一致，并在列出的案例上与商业光学设计软件一致，不代表与任何一款商业软件在所有设置下完全等价。「约定差异」是两边口径不同、已逐条查明原因的项；「待商业软件裁决」是两种算法都说得通、等商业软件的数据来定的项；「独立实现的已知问题」是对方实现里已复现的缺陷，LensBench 不用它的那部分。独立实现对账的逐项明细是内部资料，下表只列解析解与商业软件对照案例。
金标准逐项
共 83 项核对，通过 83 项。来源：解析解 = 解析解 / 几何恒等式（期望值由独立公式算出），商业软件 = 商业光学设计软件直接算出的数值，文献 = 文献数值。
| 案例 | 来源 | 核对量 | 期望 | 实际 | 偏差 | 容差 | 结果 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 离焦波前 RMS（高斯求积采样） | 解析解 | RWCH（波长） | 0.1225212068 | 0.1224601311 | -6.11e-05 | 0.0002 | ✅ |
| 衍射透镜（Binary 2）：焦距随波长、精确光线、三阶球差 | 解析解 | EFFL mm（0.55 µm） | 571.1986643 | 571.1986643 | 0 | 1e-09 | ✅ |
| 衍射透镜（Binary 2）：焦距随波长、精确光线、三阶球差 | 解析解 | EFFL mm（0.45 µm） | 698.1317008 | 698.1317008 | -1.14e-13 | 1e-09 | ✅ |
| 衍射透镜（Binary 2）：焦距随波长、精确光线、三阶球差 | 解析解 | 实际边缘光线像面 y mm | -0.0001915713721 | -0.0001915713721 | 8.88e-16 | 1e-12 | ✅ |
| 衍射透镜（Binary 2）：焦距随波长、精确光线、三阶球差 | 解析解 | Seidel S_I | 3.353655651e-06 | 3.353655651e-06 | -8.47e-22 | 1e-17 | ✅ |
| 衍射透镜（Binary 2）：焦距随波长、精确光线、三阶球差 | 解析解 | 三阶 TSA mm | -0.0001915603628 | -0.0001915603628 | 5.42e-20 | 1e-15 | ✅ |
| 完美衍射透镜（Binary 2）：相位取理想球面波的级数，衍射极限 | 解析解 | EFFL mm | 100 | 100 | 9.31e-12 | 1e-08 | ✅ |
| 完美衍射透镜（Binary 2）：相位取理想球面波的级数，衍射极限 | 解析解 | 轴上 RMS 弥散斑 µm | 0 | 0 | 0 | 0.0001 | ✅ |
| 完美衍射透镜（Binary 2）：相位取理想球面波的级数，衍射极限 | 解析解 | 轴上 Strehl | 1 | 1 | 0 | 1e-06 | ✅ |
| 入瞳位置（光阑经透镜成像） | 解析解 | ENPP | 39.53488372 | 39.53488372 | 3.02e-11 | 1e-08 | ✅ |
| 衍射光栅（DGRATING）：透射光栅的光栅方程 | 解析解 | 1 级出射方向余弦 M | 0.5533281777 | 0.5533281777 | 0 | 1e-13 | ✅ |
| 衍射光栅（DGRATING）：透射光栅的光栅方程 | 解析解 | 主光线像面 y mm | 66.42887511 | 66.42887511 | 1.42e-14 | 1e-10 | ✅ |
| 惠更斯 PSF / MTF：理想透镜 + 倾斜 30° 的像面 | 解析解 | 惠更斯 PSF 的 Strehl | 1 | 1 | 8.66e-15 | 0.002 | ✅ |
| 惠更斯 PSF / MTF：理想透镜 + 倾斜 30° 的像面 | 解析解 | 工作 F 数 | 10.0124922 | 10.0124922 | 2.5e-10 | 1e-06 | ✅ |
| 惠更斯 PSF / MTF：理想透镜 + 倾斜 30° 的像面 | 解析解 | 子午 MTF @ 30 /mm | 0.7423318301 | 0.7420118705 | -0.00032 | 0.01 | ✅ |
| 惠更斯 PSF / MTF：理想透镜 + 倾斜 30° 的像面 | 解析解 | 子午 MTF @ 50 /mm | 0.576005917 | 0.5737052679 | -0.0023 | 0.01 | ✅ |
| 惠更斯 PSF / MTF：理想透镜 + 倾斜 30° 的像面 | 解析解 | 子午 MTF @ 80 /mm | 0.3438190633 | 0.3412759006 | -0.00254 | 0.01 | ✅ |
| 惠更斯 PSF / MTF：理想透镜 + 倾斜 30° 的像面 | 解析解 | 弧矢 MTF @ 50 /mm | 0.6309523965 | 0.6285215585 | -0.00243 | 0.01 | ✅ |
| 惠更斯 PSF / MTF：理想透镜 + 倾斜 30° 的像面 | 解析解 | 弧矢 MTF @ 80 /mm | 0.4236887149 | 0.4212385788 | -0.00245 | 0.01 | ✅ |
| 抛物面镜（无像差 → 衍射极限） | 解析解 | 轴上 RMS 弥散斑 µm | 0 | 0 | 0 | 1e-06 | ✅ |
| 抛物面镜（无像差 → 衍射极限） | 解析解 | 轴上 Strehl | 1 | 1 | 0 | 0.005 | ✅ |
| 抛物面镜（无像差 → 衍射极限） | 解析解 | 半截止频率 MTF（子午） | 0.391002 | 0.3884843343 | -0.00252 | 0.006 | ✅ |
| 平行平板焦移 | 解析解 | BFL（平板后表面到焦点） | 32.48587571 | 32.48587571 | 1.47e-11 | 1e-08 | ✅ |
| 矢高表：偶次非球面的矢高、最佳拟合球、非球面度与斜率 | 解析解 | 边缘矢高 mm | 0.8772815389 | 0.8772815389 | 2.04e-12 | 1e-09 | ✅ |
| 矢高表：偶次非球面的矢高、最佳拟合球、非球面度与斜率 | 解析解 | BFS 半径 mm | 36.91495833 | 36.91495833 | -1.75e-11 | 1e-08 | ✅ |
| 矢高表：偶次非球面的矢高、最佳拟合球、非球面度与斜率 | 解析解 | 最大偏离 µm（1001 点） | -15.7195366 | -15.71952271 | 1.39e-05 | 0.001 | ✅ |
| 矢高表：偶次非球面的矢高、最佳拟合球、非球面度与斜率 | 解析解 | 最大斜率 °（默认 101 点） | 13.31580249 | 13.3158025 | 3.4e-11 | 1e-06 | ✅ |
| 球面镜球差（精确几何 + 三阶） | 解析解 | 实际边缘光线像面 y | -0.01257067566 | -0.01257067566 | -2.03e-13 | 1e-10 | ✅ |
| 球面镜球差（精确几何 + 三阶） | 解析解 | Seidel S_I | 0.0025 | 0.0025 | 4.34e-19 | 1e-14 | ✅ |
| 球面镜球差（精确几何 + 三阶） | 解析解 | 三阶 TSA | -0.0125 | -0.0125 | -1.73e-18 | 1e-13 | ✅ |
| 表面口径挡光（偏心圆形口径，几何） | 解析解 | 面 3 光束上沿 y_max（mm） | 6.124659906 | 6.124616282 | -4.36e-05 | 0.0004 | ✅ |
| 表面口径挡光（偏心圆形口径，几何） | 解析解 | 面 3 光束下沿 y_min（mm） | -4.5 | -4.499816895 | 0.000183 | 0.0004 | ✅ |
| 热分析与镜片质量：N-BK7 单透镜 | 解析解 | 名义 20 °C 的 EFFL mm | 49.21299576 | 49.21299576 | -2.13e-14 | 1e-09 | ✅ |
| 热分析与镜片质量：N-BK7 单透镜 | 解析解 | −20 °C 的 EFFL mm | 49.20938665 | 49.20938665 | -2.13e-14 | 1e-09 | ✅ |
| 热分析与镜片质量：N-BK7 单透镜 | 解析解 | 60 °C 的 EFFL mm | 49.21613762 | 49.21613762 | -2.13e-14 | 1e-09 | ✅ |
| 热分析与镜片质量：N-BK7 单透镜 | 解析解 | 60 °C 的离焦 mm | 0.4946444237 | 0.4946444237 | -7.11e-15 | 1e-09 | ✅ |
| 热分析与镜片质量：N-BK7 单透镜 | 解析解 | −20 °C 的离焦 mm | 0.5773412311 | 0.5773412311 | -2.84e-14 | 1e-09 | ✅ |
| 热分析与镜片质量：N-BK7 单透镜 | 解析解 | 相对 dn/dT 1/K | 2.834367951e-06 | 2.834367951e-06 | 0 | 1e-13 | ✅ |
| 热分析与镜片质量：N-BK7 单透镜 | 解析解 | 玻璃体积 cm³ | 0.5246733893 | 0.5246733893 | -3.33e-16 | 1e-09 | ✅ |
| 热分析与镜片质量：N-BK7 单透镜 | 解析解 | 玻璃质量 g | 1.316930207 | 1.316930207 | -8.88e-16 | 1e-09 | ✅ |
| 厚透镜一阶量 | 解析解 | EFFL | 50.84745763 | 50.84745763 | 1.86e-11 | 1e-08 | ✅ |
| 厚透镜一阶量 | 解析解 | BFL | 49.15254237 | 49.15254237 | -1.86e-11 | 1e-08 | ✅ |
| 厚透镜一阶量 | 解析解 | F/# | 5.084745763 | 5.084745763 | 1.19e-11 | 1e-08 | ✅ |
| 倾斜平板侧移（坐标断点） | 解析解 | 像面 y（全局） | -0.9690689108 | -0.9690689108 | 4.89e-13 | 1e-10 | ✅ |
| 倾斜平板侧移（坐标断点） | 解析解 | 出射方向余弦 M | 0 | 1.110223025e-16 | 1.11e-16 | 1e-12 | ✅ |
| Zernike 系数：纯离焦的抛物面镜 | 解析解 | Fringe Z4（离焦） | 0.2122129137 | 0.2121071249 | -0.000106 | 0.0005 | ✅ |
| Zernike 系数：纯离焦的抛物面镜 | 解析解 | Fringe Z9（球差） | -0.0001766234 | -0.0001764471858 | 1.76e-07 | 2e-05 | ✅ |
| Zernike 系数：纯离焦的抛物面镜 | 解析解 | Standard Z4 = RMS | 0.1225211829 | 0.1224601056 | -6.11e-05 | 0.0005 | ✅ |
| Zernike 系数：纯离焦的抛物面镜 | 解析解 | Standard Z11（球差） | -7.89884e-05 | -7.89095803e-05 | 7.88e-08 | 1e-05 | ✅ |
| Zernike 系数：纯离焦的抛物面镜 | 解析解 | RMS（对质心，波长） | 0.1225212083 | 0.1221732471 | -0.000348 | 0.001 | ✅ |
| Cooke 三片式（商业软件对照） | 商业软件 | EFFL | 50.02135072 | 50.02135072 | -5.96e-10 | 0.0001 | ✅ |
| Cooke 三片式（商业软件对照） | 商业软件 | BFL | 42.43644 | 42.4364402 | 1.98e-07 | 0.0001 | ✅ |
| Cooke 三片式（商业软件对照） | 商业软件 | 像方 F/# | 5.002135072 | 5.002135072 | -5.96e-11 | 0.0001 | ✅ |
| Cooke 三片式（商业软件对照） | 商业软件 | 入瞳位置 | 11.50580148 | 11.50580148 | 4.6e-09 | 0.0001 | ✅ |
| Cooke 三片式（商业软件对照） | 商业软件 | 出瞳位置 | -50.95521296 | -50.95521296 | 1.42e-09 | 0.0001 | ✅ |
| Cooke 三片式（商业软件对照） | 商业软件 | 总长 | 60.17675 | 60.17675 | 0 | 0.0001 | ✅ |
| Cooke 三片式（商业软件对照） | 商业软件 | RMS 弥散斑 视场0 µm | 5.11170123 | 5.1117 | -1.23e-06 | 0.102 | ✅ |
| Cooke 三片式（商业软件对照） | 商业软件 | RMS 弥散斑 视场14 µm | 17.7299544 | 17.73 | 4.56e-05 | 0.355 | ✅ |
| Cooke 三片式（商业软件对照） | 商业软件 | RMS 弥散斑 视场20 µm | 13.0439496 | 13.0439 | -4.96e-05 | 0.261 | ✅ |
| Cooke 三片式（商业软件对照） | 商业软件 | MTF 50lp/mm 视场0 T | 0.343044 | 0.354866262 | 0.0118 | 0.02 | ✅ |
| Cooke 三片式（商业软件对照） | 商业软件 | MTF 50lp/mm 视场20 T | 0.151411 | 0.1524831194 | 0.00107 | 0.02 | ✅ |
| Cooke 三片式（商业软件对照） | 商业软件 | MTF 50lp/mm 视场20 S | 0.159009 | 0.1622742981 | 0.00327 | 0.02 | ✅ |
| Cooke 三片式（商业软件对照） | 商业软件 | Seidel SPHA 总和 | 0.007144 | 0.007144042543 | 4.25e-08 | 7.14e-05 | ✅ |
| Cooke 三片式（商业软件对照） | 商业软件 | Seidel FCUR 总和 | 0.025828 | 0.0258275898 | -4.1e-07 | 0.000258 | ✅ |
| Cooke 三片式（商业软件对照） | 商业软件 | 实际光线像面 Y（Hy=1, Py=1） | 18.1639892 | 18.1639892 | 4.07e-09 | 1e-05 | ✅ |
| Cooke 三片式（商业软件对照） | 商业软件 | 畸变 视场20（主波长）% | 0.06155243 | 0.06155242982 | -1.83e-10 | 0.005 | ✅ |
| Cooke 三片式（商业软件对照） | 商业软件 | 场曲 视场20 子午 mm | -0.32358379 | -0.3235422397 | 4.16e-05 | 0.001 | ✅ |
| Cooke 三片式（商业软件对照） | 商业软件 | 场曲 视场20 弧矢 mm | -0.17905804 | -0.1790579347 | 1.05e-07 | 0.001 | ✅ |
| Cooke 三片式（商业软件对照） | 商业软件 | OPD 视场20 Py=1 λ | 0.4138093654 | 0.4138093653 | -6.06e-11 | 1e-06 | ✅ |
| Cooke 三片式（商业软件对照） | 商业软件 | OPD 视场20 Py=-1 λ | 0.3884414703 | 0.3884414703 | -4.92e-11 | 1e-06 | ✅ |
| Cooke 三片式（商业软件对照） | 商业软件 | OPD 视场20 Px=1 λ | 1.541238745 | 1.541238745 | -2.24e-10 | 1e-06 | ✅ |
| Cooke 三片式（商业软件对照） | 商业软件 | OPD 视场14 Py=-1 λ | -1.727612783 | -1.727612783 | 2.62e-10 | 1e-06 | ✅ |
| Cooke 三片式（商业软件对照） | 商业软件 | RWCH 视场20 λ | 0.3391726796 | 0.3391726796 | -5.02e-13 | 1e-06 | ✅ |
| Cooke 三片式（商业软件对照） | 商业软件 | RWCE 视场20 λ | 0.330815779 | 0.330815779 | 2.91e-11 | 1e-06 | ✅ |
| Cooke 三片式（商业软件对照） | 商业软件 | RSCH 视场20 复色 mm | 0.01154963919 | 0.01154963919 | -4.84e-12 | 1e-09 | ✅ |
| Cooke 三片式（商业软件对照） | 商业软件 | SPHA 总和 λ | 1.519849176 | 1.519849176 | 4.01e-10 | 1e-06 | ✅ |
| Cooke 三片式（商业软件对照） | 商业软件 | PIMH mm | 18.20628274 | 18.20628274 | -3.47e-10 | 1e-06 | ✅ |
| 45° 折转镜（核实坐标断点倾斜正方向） | 商业软件 | 主光线像面全局 Y（Hy=0） | 15 | 15 | 3.55e-15 | 1e-06 | ✅ |
| 45° 折转镜（核实坐标断点倾斜正方向） | 商业软件 | 主光线像面全局 Z（Hy=0） | 35 | 35 | 0 | 1e-06 | ✅ |
| 45° 折转镜（核实坐标断点倾斜正方向） | 商业软件 | 离轴主光线像面全局 Z（Hy=1） | 37.45031381 | 37.45031381 | 1.75e-09 | 1e-05 | ✅ |
| 45° 折转镜（核实坐标断点倾斜正方向） | 商业软件 | EFFL | 49.21299576 | 49.21299576 | 1.6e-09 | 0.0001 | ✅ |
| 倾斜平板（核实倾斜正方向与侧移符号） | 商业软件 | 轴上光线像面全局 Y | -0.9881056496 | -0.9881056496 | -6.97e-12 | 1e-06 | ✅ |
| 倾斜平板（核实倾斜正方向与侧移符号） | 商业软件 | 轴上光线像面局部 Y | 1.51189435 | 1.51189435 | 3.93e-10 | 1e-06 | ✅ |
案例说明
- 离焦波前 RMS（高斯求积采样）（解析解）：完美抛物面镜（F/5，f=100）像面后移 δz=0.05 mm，纯离焦：W(ρ) = δz(1 − cosθ)，sinθ = r/(f + r²/4f)，r = 10ρ； 对光瞳面积均匀积分（20 万点）去平移后 RMS = 0.1225212 波（λ = 0.5875618 µm，一阶离焦公式误差约 δz/R ≈ 5e-4）。 旧的 hexapolar 采样在 3/6/12 环时分别偏大 26%/15%/8%，因此 RWCE/RWCH 与 default wave 改用径向 Gauss-Legendre。
- 衍射透镜（Binary 2）：焦距随波长、精确光线、三阶球差（解析解）：空气里的平面衍射面，相位 Φ = p2·(r/norm)²，p2 = −1000、norm = 10 mm。光栅方程 sinθ′ = λ/(2π)·dΦ/dr = λ·p2·r/(π·norm²)， 近轴焦距 f = π·norm²/(λ·|p2|)：λ = 0.55 µm 时 571.1986642890532 mm，0.45 µm 时 ×0.55/0.45 = 698.1317007977318 mm（焦距与波长成反比）。 边缘光线 h = 5：sinθ′ = −0.00875352187…，在近轴焦面上 y = h + f·tanθ′ = −1.9157137213898778e-4 mm。 三阶（光阑在面上、物在无穷远，A₁ = 0、A₂ = −yφ）：S_I = y⁴φ³ = 3.3536556508272298e-6，TSA = S_I/(2n′u′) = −1.9156036282379492e-4。
- 完美衍射透镜（Binary 2）：相位取理想球面波的级数，衍射极限（解析解）：会聚到 f = 100 mm 的理想相位 Φ(r) = −k₀(√(r² + f²) − f)，k₀ = 2π/λ（λ = 0.55 µm），按 r² 展开到 r¹² （√(r² + f²) − f = Σ C(½, n)·r²ⁿ·f^(1−2n)），换成 ρ = r/10 的系数 pN。EPD 20 时截断误差远小于 0.001 λ： 轴上光线全部汇于近轴焦点、Strehl = 1；同时验证了光程（λΦ/2π）与偏折的符号一致——反号的话轴上就有几百个波长的离焦。
- 入瞳位置（光阑经透镜成像）（解析解）：光阑在厚透镜（n=1.5，R1=50、R2=−50、t=5）后 20 mm。入瞳是光阑经透镜向物方所成的像： 用 (y, n·u) 传递矩阵从第 1 面到光阑，M，入瞳位置 = M01/M00 = 39.5348837209 mm（第 1 面右侧，虚像）。
- 衍射光栅（DGRATING）：透射光栅的光栅方程（解析解）：透射光栅 600 线/mm、1 级，平行光以 10° 入射（光阑在光栅上，像面在其后 100 mm）：光栅方程 sinθ′ = sinθ + m·λ·lines = 0.17364817766693 + 0.6328e-3 × 600 = 0.5533281776669303；主光线在像面上 y = 100·tanθ′ = 66.42887511269274 mm。
- 惠更斯 PSF / MTF：理想透镜 + 倾斜 30° 的像面（解析解）：理想薄透镜（f = 100、EPD 10，d 线），像面在焦面上、绕 x 倾斜 30°（坐标断点）。会聚球面波的边缘半角 sin θ = 5 / √(100² + 5²)， 工作 F 数 F_w = 1 /(2 sin θ) = 10.01249，衍射截止 ν_c = 1 /(λ F_w) = 169.9825 /mm。 零像差：Strehl = 1。像面倾斜使像面上的 PSF 沿 y 拉长 1/cos 30°（焦深 ±2λF² ≈ ±118 µm，远大于 PSF 窗口内的高度差）， 所以子午 MTF(f) = D(f / cos 30° / ν_c)、弧矢 MTF(f) = D(f / ν_c)，D(x) = (2/π)(arccos x − x√(1 − x²)) 是圆孔衍射极限 MTF。 光瞳采样 48 的离散化误差约 0.005，容差 0.01。FFT MTF 算的是垂直于主光线的平面，子午、弧矢都是 D(f / ν_c)，看不出倾斜。
- 抛物面镜（无像差 → 衍射极限）（解析解）：k=−1 的抛物面对无穷远轴上点无像差：几何弥散斑为 0、Strehl = 1、MTF = 圆孔衍射极限 2/π·(acos v − v√(1−v²))；F/5、λ=0.5875618 µm 时截止 340.39 cycles/mm，半截止处 0.391002。
- 平行平板焦移（解析解）：会聚光路中插入厚 t、折射率 n 的平行平板，近轴焦点后移 t(1 − 1/n)。同一厚透镜（BFL 49.1525423729）后 10 mm 放 10 mm 平板（n=1.5）：焦点到平板后表面 = 49.1525423729 + 10/3 − 20 = 32.4858757062。
- 矢高表：偶次非球面的矢高、最佳拟合球、非球面度与斜率（解析解）：偶次非球面 R = 40、k = −0.6、a4 = 2e-5、a6 = −3e-8，半口径 8 mm。矢高 z(r) = cr²/(1 + √(1 − (1+k)c²r²)) + a4 r⁴ + a6 r⁶， 边缘 z(8) = 0.8772815389；过顶点与边缘的最佳拟合球 R = (r² + z²)/2z = 36.9149583266；相对它的最大偏离在 20 万点细网格上取 −15.71954 µm；斜率 dz/dr = cr/√(1 − (1+k)c²r²) + 4a4 r³ + 6a6 r⁵，边缘 0.2366812196 → 13.3158025°（最大斜率就在边缘）。
- 球面镜球差（精确几何 + 三阶）（解析解）：凹球面镜 R=-200，平行光高 h=10。精确：反射光与光轴交于距球心 R/(2cosθ) 处（sinθ = h/R）， 在近轴焦面（镜前 100 mm）上的横向偏差 = −0.012570675659 mm。三阶：S_I = 2h⁴|c|³ = 0.0025， TSA = S_I/(2n'u') = −0.0125（n' = −1，u' = 0.1）。
- 表面口径挡光（偏心圆形口径，几何）（解析解）：准直光束（EPD 10，视场 0° 与 5°）经平面光阑，20 mm 后在面 2 被圆形口径（半径 4、偏心 dy = −0.5）切，再走 30 mm 到面 3。 面 3 上的光束 = 「光束圆 ∩ 口径圆」沿视场方向平移：5° 视场光束中心在面 2 高 20·tan5° = 1.74977，上沿 min(6.74977, 3.5) = 3.5， 到面 3 再加 30·tan5° = 2.62466 → y_max = 6.12466；轴上视场下沿被口径切在 −4.5（5° 视场下沿 −3.25 + 2.62 更高）→ y_min = −4.5。 足迹轮廓按光瞳半径二分到 2⁻¹⁴（光束半径 5 mm → 3e-4 mm），容差 4e-4 mm。
- 热分析与镜片质量：N-BK7 单透镜（解析解）：N-BK7 双凸单透镜 R1 = 50、R2 = −50、t = 5 mm，空气里，像面距末面 47 mm，d 线。期望值由独立脚本算（不调用 LensBench）： 折射率用 SCHOTT 数据表的 Sellmeier 系数（B1 = 1.03961212 …），温度修正用数据表的 Schott 热色散公式 Δn_abs = (n² − 1)/(2n)·[D0ΔT + D1ΔT² + D2ΔT³ + (E0ΔT + E1ΔT²)/(λ² − λtk²)]（D0 = 1.86e-6、D1 = 1.31e-8、D2 = −1.37e-11、 E0 = 4.34e-7、E1 = 6.27e-10、λtk = 0.17 µm），相对折射率 = (n·n_air(20 °C) + Δn_abs) / n_air(T)，空气折射率 n_air = 1 + (n_ref − 1)/(1 + 3.4785e-3·(T − 15))，n_ref = 1 + [6432.8 + 2949810λ²/(146λ² − 1) + 25540λ²/(41λ² − 1)]·10⁻⁸； 半径与中心厚按 N-BK7 的线膨胀系数 7.1e-6/K、像面距按铝合金镜筒 23.6e-6/K 伸缩；厚透镜公式 1/f = (n − 1)[1/R1 − 1/R2 + (n − 1)t/(nR1R2)]、后截距 = f·[1 − (n − 1)t/(nR1)]，热离焦 = 后截距 − 像面距。60 °C：n = 1.516915120047、EFFL = 49.21613762003974、 离焦 0.494644423652737 mm（20 °C 为 0.536223785797354），相对 20 °C 是 −41.58 µm。相对 dn/dT（d 线，20→40 °C 平均） = 2.834367950910188e-6/K（数据表 e 线 +20/+40 °C 为 3.0）。质量：两面 semi = 6，矢高 h = 50 − √(2500 − 36)， 体积 = π·6²·(5 − 2h) + 2·πh²(150 − h)/3 = 0.5246733892593997 cm³，× 密度 2.51 g/cm³ = 1.316930207041093 g。
- 厚透镜一阶量（解析解）：理想材料 n=1.5，R1=50、R2=-50、t=5。φ = (n−1)(c1−c2) + (n−1)²t·c1·c2/n，f = 1/φ； BFL = f·(1 − (n−1)t·c1/n)；F/# = f/EPD。
- 倾斜平板侧移（坐标断点）（解析解）：平板厚 5、n=1.5、倾斜 30°：出射光与入射光平行，侧移 D = t·sin(θ−θ')/cosθ'，sinθ' = sinθ/n → 0.969068910761 mm。 （方向：tx=+30 使平板法线偏向 −y，光线向 −y 平移；与商业软件一致，见「倾斜平板（核实倾斜正方向与侧移符号）」。）
- Zernike 系数：纯离焦的抛物面镜（解析解）：完美抛物面镜（F/5，f=100）像面后移 δz=0.05 mm（同「离焦波前 RMS」）：W(ρ) = δz(1 − cosθ)/λ，sinθ = r/(f + r²/4f)，r = 10ρ， λ = 0.5875618 µm。按 Zernike 多项式的正交性对单位圆做数值投影（40 万点梯形积分）：Fringe Z4 = 2ρ² − 1 的系数 0.2122129， Fringe Z9 = 6ρ⁴ − 6ρ² + 1 的系数 −1.766e-4（cosθ 的高阶项）；Standard（Noll，按 RMS 归一）Z4 = √3(2ρ² − 1) 的系数 0.1225212， 等于去平移后的 RMS（离焦独占）；Noll Z11 = √5(6ρ⁴ − 6ρ² + 1) 的系数 = Fringe Z9 / √5 = −7.899e-5。 拟合在 65×65 光瞳网格上做（离散最小二乘 ≈ 连续投影，差约 0.05 %），RMS 是网格求和（差约 0.3 %）。
- Cooke 三片式（商业软件对照）（商业软件）：Cooke 三片式物镜（玻璃 SCHOTT N-SK16 / F2）。期望值由商业光学设计软件直接算出（不调用 LensBench）：一阶量、RMS 弥散斑、FFT MTF、 Seidel、场曲与畸变（F-Tan(θ)）、实际光线、OPD 与 RMS 波前。轴上 50 /mm 的 MTF 差约 0.014（FFT 取样细节，在查）。
- 45° 折转镜（核实坐标断点倾斜正方向）（商业软件）：tx=+45 的坐标断点后，反射光往 +Y 走（像面中心全局 Y = 15、Z = 35），商业软件与 LensBench 的约定相同。
- 倾斜平板（核实倾斜正方向与侧移符号）（商业软件）：N-BK7 平板厚 5，tx=+30 再 tx=−30。轴上光线在像面向 −Y 平移 0.988（全局坐标；平板法线偏向 −Y），商业软件与 LensBench 的约定相同。